从麦克斯韦方程组出发，深入解析电磁波在两种不同介质界面上的行为，掌握光学的核心数学工具。
在几何光学中，我们通常使用反射定律和折射定律（斯涅尔定律）来确定光线的传播方向。然而，几何光学无法回答一个至关重要的问题：反射光和折射光的强度（振幅）是多少？ 此外，光的偏振状态在界面处会发生怎样的变化？这些问题正是由法国物理学家奥古斯丁·让·菲涅耳（Augustin-Jean Fresnel）通过波动光学理论解决的。
菲涅耳公式（Fresnel Equations）描述了电磁波在两种不同折射率介质界面上的反射系数和透射系数。它们是电磁理论在光学中的直接应用，基于麦克斯韦方程组及电磁场的边界条件推导而来。理解这些公式对于设计光学涂层、解释彩虹成因、分析光纤传输以及理解偏振片的工作原理至关重要。
推导的基础在于电场强度 E 和磁场强度 H 在界面处的切向分量必须连续。这是麦克斯韦方程组积分形式的直接推论。
公式依赖于两种介质的折射率 n₁ 和 n₂，以及入射角 θ₁ 和折射角 θ₂。这些参数决定了能量在界面处的分配比例。
光波是横波，电场振动方向相对于入射面分为垂直（s偏振）和平行（p偏振）两种模式，它们在界面的反射行为截然不同。
为了清晰展示推导逻辑，我们将推导过程分为 s偏振（TE波）和 p偏振（TM波）两个部分。请注意，以下推导假设介质为非磁性介质（μ₁ ≈ μ₂ ≈ μ₀）。
s偏振（Senkrecht，垂直）意味着电场矢量 E 垂直于入射面。假设入射面为 x-z 平面，则电场仅沿 y 轴方向振动。
设入射波、反射波和透射波的电场振幅分别为 Eᵢ, Eᵣ, Eₜ。由于 E 垂直于入射面，我们可以直接应用边界条件。
在界面（z=0）处，电场切向分量连续：
Eᵢ + Eᵣ = Eₜ --- (1)
同时，磁场切向分量也连续。由于 H = (n/μ₀c) E，且磁场方向在入射面内，其切向分量涉及角度的余弦投影：
n₁(Eᵢ - Eᵣ)cosθ₁ = n₂Eₜcosθ₂ --- (2)
注意：反射波的磁场方向与入射波相反，因此是减号。
由(1)式得 Eₜ = Eᵢ + Eᵣ，代入(2)式：
n₁(Eᵢ - Eᵣ)cosθ₁ = n₂(Eᵢ + Eᵣ)cosθ₂
整理得：
rₛ = Eᵣ/Eᵢ = (n₁cosθ₁ - n₂cosθ₂) / (n₁cosθ₁ + n₂cosθ₂)
同理可得：
tₛ = Eₜ/Eᵢ = 2n₁cosθ₁ / (n₁cosθ₁ + n₂cosθ₂)
p偏振（Parallel，平行）意味着磁场矢量 H 垂直于入射面，而电场矢量 E 在入射面内。这使得推导稍微复杂一些，因为需要投影电场矢量。
电场切向分量连续（投影到界面）：
(Eᵢ - Eᵣ)cosθ₁ = Eₜcosθ₂ --- (3)
注意：这里反射波的电场方向定义导致符号变化，需仔细处理矢量方向。通常定义反射电场在入射面内的分量与入射时相反。
磁场切向分量连续（H垂直于入射面，直接加减）：
Hᵢ + Hᵣ = Hₜ
转换为电场振幅（利用 H = nE/c）：
n₁(Eᵢ + Eᵣ) = n₂Eₜ --- (4)
联立(3)和(4)消去 Eₜ：
rₚ = Eᵣ/Eᵢ = (n₂cosθ₁ - n₁cosθ₂) / (n₂cosθ₁ + n₁cosθ₂)
或者使用斯涅尔定律简化为：
rₚ = (tan(θ₁ - θ₂)) / (tan(θ₁ + θ₂))
tₚ = Eₜ/Eᵢ = 2n₁cosθ₁ / (n₂cosθ₁ + n₁cosθ₂)
注意： p偏振的反射系数公式中分子是 n₂cosθ₁ - n₁cosθ₂，这与s偏振不同，导致在特定角度（布儒斯特角）下反射率为零。
为了便于计算，通常将反射率和透射率表示为能量比例。由于能流密度（坡印廷矢量）与电场振幅的平方及折射率成正比：
| 参数 | 公式 | 物理意义 |
|---|---|---|
| 反射率 Rₛ | Rₛ = |rₛ|² | s偏振光的反射能量比例 |
| 透射率 Tₛ | Tₛ = (n₂cosθ₂ / n₁cosθ₁) |tₛ|² | s偏振光的透射能量比例 |
| 反射率 Rₚ | Rₚ = |rₚ|² | p偏振光的反射能量比例 |
| 透射率 Tₚ | Tₚ = (n₂cosθ₂ / n₁cosθ₁) |tₚ|² | p偏振光的透射能量比例 |
根据能量守恒定律，对于无吸收介质，必须满足：R + T = 1。你可以验证上述公式是否满足此关系。
菲涅耳公式不仅给出了计算公式，还揭示了许多有趣的光学现象。以下是基于公式推导结果的重要结论：
当 p 偏振光的反射系数 rₚ 为零时，反射光中只包含 s 偏振光，此时反射光为完全线偏振光。这发生在 θ₁ + θ₂ = 90° 时。由斯涅尔定律 n₁sinθ_B = n₂sin(90°-θ_B)，可得布儒斯特角公式：
tanθ_B = n₂/n₁。
例如，从空气(n=1)射向玻璃(n=1.5)，θ_B ≈ 56.3°。此时反射光完全偏振，这也是偏振太阳镜设计的理论基础。
当 n₁ > n₂ 且入射角 θ₁ 大于临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 时，折射角 θ₂ 变为复数。此时 |rₛ| = |rₚ| = 1，意味着 100% 的光被反射，没有能量透射。虽然存在倏逝波（Evanescent Wave），但它不传输净能量。这是光纤通信和棱镜全反射棱镜的工作原理。
当 θ₁ → 0 时，cosθ₁ ≈ 1，cosθ₂ ≈ 1。此时 s 和 p 偏振的反射系数公式趋于一致：
r = (n₁ - n₂) / (n₁ + n₂)。
这表明在垂直入射时，偏振方向不再重要，反射率仅取决于折射率差。若 n₂ > n₁，r 为负值，表示电场方向反转（相位突变 π）。
菲涅耳公式不仅是理论工具，更是现代光学工程设计的基石。以下是几个典型应用场景：
相机镜头和眼镜上的镀膜利用薄膜干涉原理。通过精确控制膜层厚度和折射率，使特定波长的光在前后表面反射的光程差为半波长的奇数倍，从而相消干涉，降低反射率，增加透射率。这直接应用了菲涅耳反射系数的叠加原理。
彩虹是阳光在水滴内经过一次反射和两次折射形成的。菲涅耳公式解释了为什么彩虹光具有偏振性，以及为什么不同颜色的光（不同折射率）反射率不同，导致我们看到的色彩分布和亮度变化。
光纤利用全反射原理传输信号。菲涅耳公式用于计算光纤端面的反射损耗（Return Loss），指导连接器抛光角度（如APC连接器采用8度角）以最小化反射回光源的光，保证通信质量。
通过测量文物表面涂层的反射光谱，结合菲涅耳公式反推涂层的折射率和厚度，可以非破坏性地分析绘画材料的历史和老化程度。
s偏振（Senkrecht）指电场矢量垂直于入射面，p偏振（Parallel）指电场矢量平行于入射面。在推导过程中，两者的边界条件应用方式不同，导致最终的公式形式存在符号差异，特别是p偏振在布儒斯特角附近会出现反射率为零的现象。
当光线垂直入射时，入射角为0度，此时入射面定义变得模糊，但极限情况下s和p偏振的公式收敛于同一结果。反射率仅取决于两种介质的折射率之差，公式简化为 R = ((n1-n2)/(n1+n2))^2。
可以。当光从光密介质射向光疏介质且入射角大于临界角时，根据菲涅耳公式计算出的透射角为复数，反射系数的模为1，表示全反射。此时虽然存在倏逝波，但没有能量透射到第二种介质中。
适用于金属，但需要进行修正。金属具有复数折射率（n + ik），其中k是消光系数。代入复数折射率后，菲涅耳公式可以计算金属表面的反射率和相位变化，解释为什么金属具有高反射率和颜色选择性。